В рамках учебно-воспитательной работы кафедры «Высшая математика и естественные науки» в рамках изучения дифференциального и интегрального исчислений студенты первого курса специальности 23.05.03 Подвижной состав железных дорог (Специализация: Электрический транспорт железных дорог) познакомились с жизнью и деятельностью Готфрида Вильгельма Лейбница.
Студенты групп ЗПЭ-1921,1922 подготовили доклад, повествующий об основных достижениях ученого, а также интересных случаях из его жизни.
Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 года в семье профессора философии морали (этики) Лейпцигского университета Фридриха Лейбница (нем. Friedrich Leibnütz или Leibniz; 1597-1652) и Катерины Шмукк (нем. Catherina Schmuck), которая была дочерью выдающегося профессора юриспруденции. Отец Лейбница был сербо-лужицкого происхождения.
С именем Лейбница в науке связано много открытий и гипотез, которые позже получили признание. Он занимался химией и геологией, сконструировал ветряной двигатель для насосов, выкачивающих воду из шахт. В механике ему принадлежит понятие о «живых силах», в геологии- мысль, что Земля имеет историю. Лейбниц высказал правильное предположение о происхождении ископаемых остатков животных и растений, отстаивал важную для биологов мысль об эволюции. Создал собственную научную школу, в которую входили братья Бернулли, Г.Ф. Лопиталь и другие математики. Первым нарушил традиции писать научные труды только на латинском языке.
Ряд приёмов решения задач на проведение касательных, отыскание экстремумов и вычисление квадратур был создан ещё до Лейбница, однако в работах его предшественников отсутствовал общий метод, позволяющий распространить исследования, ограниченные преимущественно целыми алгебраическими функциями, на любые дробные и иррациональные и особенно на трансцендентные функции. В этих работах не были сколько-нибудь отчётливо выделены основные понятия анализа, а также не были установлены их взаимосвязи, не имелось развитой и единой символики. Готфрид Лейбниц свёл частные и разрозненные приёмы в единую систему взаимно связанных понятий анализа, выраженных в обозначениях, позволяющих производить действия с бесконечно малыми по правилам определённого алгоритма.
В 1675 году Лейбниц создал дифференциальное и интегральное исчисления и впоследствии издал главные результаты своего открытия, опередив Ньютона, который ещё раньше Лейбница пришёл к сходным результатам, но в то время ещё не публиковал их, хотя Лейбницу некоторые из них были известны в
В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. В первых работах он, похоже, понимал бесконечно малые как актуальные объекты, сравнимые между собой, только если они одного порядка. Возможно, он надеялся установить их связь со своей концепцией монад. В конце жизни он высказывался скорее в пользу потенциально бесконечно малых, то есть переменных величин, хотя и не пояснял, что он под этим подразумевает. Попытки Лейбница дать строгое обоснование анализа не увенчались успехом, он колебался между различными трактовками бесконечно малых, пытался иногда прибегнуть к неуточнённым идеям предела и непрерывности. Взгляды Лейбница на природу бесконечно малых и на обоснование операций над ними вызвали критику ещё при его жизни, а удовлетворяющее современным научным требованиям обоснование анализа могло быть дано только в XIX веке.
Большую роль в распространении идей Лейбница играла его обширная переписка. Некоторые открытия были изложены Лейбницем лишь в письмах: начала теории определителей в 1693 году, обобщение понятия дифференциала на отрицательные и дробные показатели в 1695 году, признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница, 1682), приёмы решения в квадратурах разных типов обыкновенных дифференциальных уравнений.
Лейбниц ввёл следующие термины: «дифференциал», «дифференциальное исчисление», «дифференциальное уравнение», «функция», «переменная», «постоянная», «координаты», «абсцисса», «алгебраические и трансцендентные кривые», «алгоритм» (в смысле, близком к современному). Хотя математическое понятие функции подразумевалось в тригонометрических и логарифмических таблицах, которые существовали в его время, Лейбниц был первым, кто использовал его явно для обозначения любого из нескольких геометрических понятий, производных от кривой, таких как абсцисса, ордината, тангенс, хорда и нормаль.
Лейбниц сформулировал понятия дифференциала как бесконечно малой разности двух бесконечно близких значений переменной величины и интеграла как суммы бесконечного числа дифференциалов и дал простейшие правила дифференцирования и интегрирования уже в своих парижских рукописных заметках, относящихся к октябрю и ноябрю 1675 года; здесь же у Лейбница впервые встречаются современные знаки дифференциала d и интеграла ∫. Определение и знак дифференциала были даны Лейбницем в опубликованном в 1684 году первом мемуаре по дифференциальному исчислению «Новый метод максимумов и минимумов…». В этом же сочинении были приведены без доказательств правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного, любой постоянной степени, функции от функции (инвариантность первого дифференциала), а также правила отыскания и различения (с помощью второго дифференциала) максимумов и минимумов и отыскание точек перегиба. Дифференциал функции был определён как отношение ординаты к подкасательной. умноженное на дифференциал аргумента, величина которого может быть взята произвольно; вместе с тем Лейбниц указал, что дифференциалы пропорциональны бесконечно малым приращениям величин и что на основании этого легко получить доказательства его правил.
За сочинением 1684 года последовал ряд других сочинений Лейбница, в своей совокупности охватывающих все базовые отделы дифференциального и интегрального исчислений. В этих работах Готфрид Вильгельм Лейбниц дал определение и знак интеграла (1686), подчёркивая взаимно обратный характер обеих главных операций анализа, указал правила дифференцирования общей показательной функции и многократного дифференцирования произведения (формула Лейбница, 1695), а также положил начало интегрированию рациональных дробей (1702—1703). Кроме того, Лейбниц придавал принципиально важное значение применению бесконечных степенных рядов для изучения функций и решения дифференциальных уравнений (1693).
По причине не только более ранних публикаций, но и существенно более удобных и прозрачных обозначений сочинения Лейбница о дифференциальном и интегральном исчислениях оказали на современников значительно большее влияние, чем теория Ньютона. Даже соотечественники Ньютона, долгое время предпочитавшие метод флюксий, постепенно усвоили более удобные обозначения Лейбница.
Лейбниц также опубликовал идею той науки, что сейчас называют топологией (он называл её «геометрией положения», лат. analysis situs).
Студенты групп ЗПЭ-1921,1922 подготовили доклад, повествующий об основных достижениях ученого, а также интересных случаях из его жизни.
Готфрид Вильгельм Лейбниц родился 1 июля 1646 года в семье профессора философии морали (этики) Лейпцигского университета Фридриха Лейбница (нем. Friedrich Leibnütz или Leibniz; 1597-1652) и Катерины Шмукк (нем. Catherina Schmuck), которая была дочерью выдающегося профессора юриспруденции. Отец Лейбница был сербо-лужицкого происхождения.
С именем Лейбница в науке связано много открытий и гипотез, которые позже получили признание. Он занимался химией и геологией, сконструировал ветряной двигатель для насосов, выкачивающих воду из шахт. В механике ему принадлежит понятие о «живых силах», в геологии- мысль, что Земля имеет историю. Лейбниц высказал правильное предположение о происхождении ископаемых остатков животных и растений, отстаивал важную для биологов мысль об эволюции. Создал собственную научную школу, в которую входили братья Бернулли, Г.Ф. Лопиталь и другие математики. Первым нарушил традиции писать научные труды только на латинском языке.
Ряд приёмов решения задач на проведение касательных, отыскание экстремумов и вычисление квадратур был создан ещё до Лейбница, однако в работах его предшественников отсутствовал общий метод, позволяющий распространить исследования, ограниченные преимущественно целыми алгебраическими функциями, на любые дробные и иррациональные и особенно на трансцендентные функции. В этих работах не были сколько-нибудь отчётливо выделены основные понятия анализа, а также не были установлены их взаимосвязи, не имелось развитой и единой символики. Готфрид Лейбниц свёл частные и разрозненные приёмы в единую систему взаимно связанных понятий анализа, выраженных в обозначениях, позволяющих производить действия с бесконечно малыми по правилам определённого алгоритма.
В 1675 году Лейбниц создал дифференциальное и интегральное исчисления и впоследствии издал главные результаты своего открытия, опередив Ньютона, который ещё раньше Лейбница пришёл к сходным результатам, но в то время ещё не публиковал их, хотя Лейбницу некоторые из них были известны в
В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. В первых работах он, похоже, понимал бесконечно малые как актуальные объекты, сравнимые между собой, только если они одного порядка. Возможно, он надеялся установить их связь со своей концепцией монад. В конце жизни он высказывался скорее в пользу потенциально бесконечно малых, то есть переменных величин, хотя и не пояснял, что он под этим подразумевает. Попытки Лейбница дать строгое обоснование анализа не увенчались успехом, он колебался между различными трактовками бесконечно малых, пытался иногда прибегнуть к неуточнённым идеям предела и непрерывности. Взгляды Лейбница на природу бесконечно малых и на обоснование операций над ними вызвали критику ещё при его жизни, а удовлетворяющее современным научным требованиям обоснование анализа могло быть дано только в XIX веке.
Большую роль в распространении идей Лейбница играла его обширная переписка. Некоторые открытия были изложены Лейбницем лишь в письмах: начала теории определителей в 1693 году, обобщение понятия дифференциала на отрицательные и дробные показатели в 1695 году, признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница, 1682), приёмы решения в квадратурах разных типов обыкновенных дифференциальных уравнений.
Лейбниц ввёл следующие термины: «дифференциал», «дифференциальное исчисление», «дифференциальное уравнение», «функция», «переменная», «постоянная», «координаты», «абсцисса», «алгебраические и трансцендентные кривые», «алгоритм» (в смысле, близком к современному). Хотя математическое понятие функции подразумевалось в тригонометрических и логарифмических таблицах, которые существовали в его время, Лейбниц был первым, кто использовал его явно для обозначения любого из нескольких геометрических понятий, производных от кривой, таких как абсцисса, ордината, тангенс, хорда и нормаль.
Лейбниц сформулировал понятия дифференциала как бесконечно малой разности двух бесконечно близких значений переменной величины и интеграла как суммы бесконечного числа дифференциалов и дал простейшие правила дифференцирования и интегрирования уже в своих парижских рукописных заметках, относящихся к октябрю и ноябрю 1675 года; здесь же у Лейбница впервые встречаются современные знаки дифференциала d и интеграла ∫. Определение и знак дифференциала были даны Лейбницем в опубликованном в 1684 году первом мемуаре по дифференциальному исчислению «Новый метод максимумов и минимумов…». В этом же сочинении были приведены без доказательств правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного, любой постоянной степени, функции от функции (инвариантность первого дифференциала), а также правила отыскания и различения (с помощью второго дифференциала) максимумов и минимумов и отыскание точек перегиба. Дифференциал функции был определён как отношение ординаты к подкасательной. умноженное на дифференциал аргумента, величина которого может быть взята произвольно; вместе с тем Лейбниц указал, что дифференциалы пропорциональны бесконечно малым приращениям величин и что на основании этого легко получить доказательства его правил.
За сочинением 1684 года последовал ряд других сочинений Лейбница, в своей совокупности охватывающих все базовые отделы дифференциального и интегрального исчислений. В этих работах Готфрид Вильгельм Лейбниц дал определение и знак интеграла (1686), подчёркивая взаимно обратный характер обеих главных операций анализа, указал правила дифференцирования общей показательной функции и многократного дифференцирования произведения (формула Лейбница, 1695), а также положил начало интегрированию рациональных дробей (1702—1703). Кроме того, Лейбниц придавал принципиально важное значение применению бесконечных степенных рядов для изучения функций и решения дифференциальных уравнений (1693).
По причине не только более ранних публикаций, но и существенно более удобных и прозрачных обозначений сочинения Лейбница о дифференциальном и интегральном исчислениях оказали на современников значительно большее влияние, чем теория Ньютона. Даже соотечественники Ньютона, долгое время предпочитавшие метод флюксий, постепенно усвоили более удобные обозначения Лейбница.
Лейбниц также опубликовал идею той науки, что сейчас называют топологией (он называл её «геометрией положения», лат. analysis situs).